| Abel possède au départ
n francs, Caïn possède c francs. La somme totale mise en jeu
est donc N = n + c. L'évenement "Abel gagne" la partie sera noté
An et sa probabilité pn.
Soit A l'évenement Abel gagne 1F lors du lancement d'une pièce et B l'évenement contraire. Alors grâce à la formule des probabilités totales : P (An) = P( An/A) P(A) + P( An/B) P(B). On a P(A) = P(B) = 1 / 2. De plus P( An/A) = P( An+1) car si A est réalisé la fortune d'Abel augmente d'une unité. De même : P( An/B) = P( An-1). On obtient dans ces conditions : pn = 1 / 2 pn+1 + 1 / 2 pn-1 ou encore pn+1 - pn= pn - pn-1. |
(un) définie
un = pn - pn-1 est donc stationnaire et
(pn) par conséquent arithmétique.
Il existe donc a et b réels tels que pn = a + b n. Comme p0 = 0 (si
A a une fortune nulle au départ il est ruiné sans jouer !)
et que pN = 1 (si A a une fortune égale à N au
départ c'est que Caïn possède 0 franc et il est ruiné
sans jouer !) on a a = 0 et
De manière symétrique la probabilité de gagner pour Caïn est c / N. Ainsi on est sûr que toute partie se terminera par la ruine d'un des joueurs et que les probabilités de gagner sont proportionnelles aux sommes engagées. On peut alors remarquer que l'espérance de ce jeu est : E(X) = pn (N - n) - (1 - pn) n = 0. |